Kurt Gödel un genio

Hoy en día se conocen numerosas demostraciones del teorema de Gödel. En esta sección presentaremos una demostración no muy rigurosa pero muy fácil de entender. Si te interesas lector, en una demostración realizada con todo el rigor matemático te sugerimos la que el propio Gödel publicó, misma que encontrarás en la sección de enlaces a otras páginas.



Resulta que la empresa transnacional de alta tecnología La Torre de Marfil, Inc. ha diseñado y construido una nueva computadora tan poderosa que la ha bautizado como la Máquina de la Verdad Universal (MVU) ya que es capaz de contestar correctamente cualquier pregunta que se le haga. continúa
La demostración del teorema de Gödel que vamos a presentar tiene sabor a informática y está inspirada en la que hallamos en el excelente libro de Rudy Rucker: Infinity and The Mind.
Esta máquina utiliza un grandísimo número de transistores que supera en varios órdenes de magnitud al de cualquier supercomputadora anteriormente construida. La máquina realiza una inmensidad de operaciones lógico-matemáticas por segundo, tiene una enorme memoria RAM y una capacidad de almacenamiento en disco verdaderamente fabulosa. En cuanto a su software, esta computadora maneja los últimos avances de la inteligencia artificial y sus bases de datos y sistemas expertos contienen la totalidad del conocimiento de la humanidad. La cantidad total de líneas de código de estos programas es inmensa. Nunca antes se habían escrito programas tan complejos. Es verdaderamente la máquina de la verdad universal.

El día de su presentación, con muchos bombos y platillos, la orgullosa empresa La Torre de Marfil, Inc., pone la máquina a disposición del público y pide que se le hagan preguntas, cualesquiera preguntas, mismas que la MVU contestará infaliblemente y de forma inmediata.
Al evento asistió un joven llamado Kurt Gödel que primero escribió la siguiente frase:

G = La MVU no dirá que esta frase (o sea G) es verdad

Y después le hizo la siguiente pregunta a la máquina:

La frase G, ¿es verdadera o es falsa?

La máquina empezó a vibrar, arrojó un poco de humo, un par de chispas y se congeló permanentemente sin haber dado respuesta a la pregunta de Gödel. Con esto terminó el evento, la Torre de Marfil, Inc. quebró y Gödel fue aclamado como uno de los científicos más brillantes del siglo XX.

¿Qué sucedió en el interior de la máquina? Veamos
En primer lugar es importante destacar que la computadora era finita en todas sus características: el número de transistores, la cantidad de líneas de código y todos sus demás parámetros, si bien eran mucho muy grandes, no eran infinitos. Esto es equivalente a decir que estamos tratando con un sistema basado en un número finito de axiomas.

El razonamiento de la máquina fue el siguiente:

Voy a suponer que G es verdad, y si ese fuera el caso, entonces podría responder "En efecto, G es verdad". Pero al examinar a la frase G aparece inmediatamente una contradicción, pues la frase dice justamente que yo, la MVU, nunca diré que G es verdad. O sea, que si concluyo que G es verdad y lo digo públicamente, entonces por el hecho mismo de decirlo hago que G sea falsa y como consecuencia mi aseveración sería una mentira y yo no puedo mentir.

Con lo anterior queda establecido que yo, la MVU, nunca diré que G es verdad. Como consecuencia, por el simple hecho de guardar silencio hago que G sea verdad. Como soy la MVU y nunca puedo mentir, mejor no contesto y me congelo!
Al congelarse y no responder, la Máquina de la Verdad Universal hace que la frase G sea cierta. Entonces Gödel dice: Yo conozco una verdad que la MUV no puede afirmar. Yo sé que la frase G es verdadera, pero la máquina es incapaz de decidir si G es verdadera o es falsa. Por lo tanto la máquina no es verdaderamente universal.

Además no importa si le aumentan sus transistores y sus líneas de código un millón de millones de veces, pues la máquina nunca podrá decidir sobre la verdad o falsedad de la frase G.

La demostración que acabamos de presentar no tiene el rigor que las matemáticas requieren. Sin embargo Gödel fue capaz de encontrar para cualquier sistema axiomático finito una ecuación polinómica compleja cuya solución existe si y sólo si G es verdad. Es decir, que G no es una frase vaga y mal definida que se basa en juegos de palabras. Al contrario, G es un problema matemático específico cuya solución conocemos, pero que el sistema axiomático en cuestión es incapaz de decidir si es cierta o falsa. La consecuencia demoledora del teorema de Gödel es que dicho sistema axiomático finito, cualquiera que este sea, no puede representar una teoría completa y definitiva de las matemáticas




Kurt Gödel nació el 28 de abril de 1906 en la ciudad de Brünn, Moravia, que entonces formaba parte de la monarquía Austro Húngara. Esta ciudad hoy se conoce como Brno y es parte de la República Checa.

Gödel murió el 14 de enero de 1978 en Princeton, Nueva Jersey Estados Unidos a los casi 72 años de edad. continúa
La familia Gödel formaba parte de una minoría alemana en Brünn (Brno). El padre de Kurt se había abierto camino por su propio esfuerzo y había llegado a ser director de una de las numerosas pequeñas empresas textiles de la ciudad. Desde pequeño Kurt Gödel fue delicado de salud y de carácter depresivo. Su infancia quedó marcada por una fiebre reumática que tuvo a los seis años de edad y que le dejó para el resto de su vida una actitud temerosa en relación con su salud. De niño se ganó el apodo de Der Herr Warum o el Señor Porqué, debido a su insaciable curiosidad. Fue a la escuela primaria y secundaria en Brno hasta cumplir 17 años de edad. Mostró una gran capacidad para el razonamiento abstracto, destacando en estudios de latín, matemáticas e historia. Al terminar el Gimnasio (equivalente a la preparatoria en México) había llegado a dominar las matemáticas del nivel universitario.


Para realizar estudios superiores, en 1923 el joven Kurt fue a la Universidad de Viena. Originalmente su intención era la de estudiar física teórica, pero empezó a asistir también a cursos de filosofía y matemáticas y poco a poco cambió su enfoque hacia estas disciplinas, Ahí tuvo por profesores a eminentes matemáticos: Furtwngler, Hahn, Wirtinger, Menger, Helly y otros. La ciudad de Viena, en esos tiempos, era un lugar sumamente interesante. En ella se estaban iniciando grandes movimientos culturales, como el psicoanálisis, la música dodecafónica, la arquitectura moderna, la pintura no representativa y otros más. Entre los pensadores que vivían en Viena destacan Sigmund Freud, Arnold Schönberg, Adolf Loos y Oscar Kokoshka. Estos mismos años fueron también de enorme desarrollo filosófico, lo que resultó de enorme importancia para Gödel. En 1921 Ludwig Wittgenstein había publicado su Tractatus Logico-Philosophicus y el positivismo lógico estaba en pleno desarrollo en el "Círculo de Viena".
En estos años universitarios el principal maestro de Gödel, Hans Hahn, lo invitó a asistir a las reuniones del famoso Círculo de Viena, agrupación formada por filósofos, físicos y matemáticos muy relevantes, entre otros: Rudolf Carnap (1891-1970), el propio Hans Hahn (1879-1934) Moritz Schlick (1882-1936),Friedrich Waismann (1896-1959) Otto Neurath (1882-1945) y otros. A este grupo de personas las influyó mucho Ludwig Wittgenstein (1889-1951) y su precursor Ernest Mach (1838-1910). Las reuniones del Círculo de Viena se llevaban a cabo en un salón de seminarios cercano al departamento de matemáticas y Gödel asistía regularmente a estas reuniones.

En la universidad Kurt estudió teoría de números, participó en un seminario de estudio del libro Introducción a la Filosofía Matemática de Bertrand Russell, se enfocó hacia la lógica matemática y empezó a publicar artículos sobre el tema. Asistió en Bologna a una conferencia impartida por David Hilbert quien explícitamente estableció el problema de la consistencia y completez de los sistemas matemáticos.
Como estudiante en la Universidad de Viena conoció a su futura esposa, Adela, y en 1929 se hizo ciudadano austriaco. En este mismo año murió su padre y él presentó su primer artículo importante sobre lógica que ya dejaba entrever sus trabajos fundamentales. En 1930 recibió el grado de Doctor en Filosofía y publicó una versión combinatoria de su resultado sobre proposiciones no decidibles que fue publicado por la Academia de Ciencias de Viena. También en ese mismo año se integró al profesorado de la Universidad de Viena, en el que permaneció ocho años más. El primer curso que impartió fue el de fundamentos de la aritmética.


En 1931 publicó su famoso teorema bajo el título Über formal unentscheidbare Stze der Principia Mathematica und verwandter systeme. Ya sabemos por las páginas previas, que Gödel demostró resultados fundamentales sobre cualquier sistema basado en un número finito de axiomas. En particular que en estos sistemas existen proposiciones que no pueden afirmarse o negarse y en particular, que la consistencia de los axiomas no puede ser demostrada. Esto terminó con los intentos de Cantor, Frege, Russell, Hilbert y otros eminentes matemáticos para establecer un conjunto de axiomas que permitieran construir la totalidad de las matemáticas basada en ellos.

En 1933 Adolf Hitler llegó al poder. Al principio este hecho aparentemente no tuvo ningún impacto en la vida de Gödel, quien tenía poco interés en la política. Sin embargo uno de los miembros del Circulo de Viena, el profesor Moritz Schlick fue asesinado por su antiguo alumno, ahora nazi, el Dr. Hans Nelboeeck. Este brutal asesinato de un académico en el campus universitario por razones políticas y raciales marca el principio del fin del Círculo de Viena y presagia los dramáticos eventos que vendrían poco después.
Al respecto de este evento, Rudolf Gödel, médico y hermano de Kurt escribió:

Este triste suceso fue seguramente la causa de la severa crisis nerviosa que mi hermano sufrió durante un tiempo. Poco después de su recuperación recibió su primera invitación como Profesor Invitado en Estados Unidos.

Gödel aceptó esta invitación e hizo su primer viaje a Estados Unidos, donde impartió en 1934 un conjunto de cursos en la Universidad de Princeton sobre sus trabajos recientes. También impartió una conferencia magistral en la reunión anual de la American Mathematical Society. En Princeton conoció a Albert Einstein con quien mantuvo una larga y fructífera amistad.


Durante este año Gödel desarrolló sus ideas sobre computabilidad y funciones recursivas y el concepto de “verdad”. En 1935 regresó nuevamente a Princeton por un breve período. El intenso trabajo, los viajes y la situación de la política europea lo afectaron y nuevamente fue víctima de una severa depresión. A su regreso a Viena continuó con labores de enseñanza e investigación y también contrajo matrimonio con Adele Porkert.

En 1937 demostró la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de Georg Cantor con el conjunto aceptado de axiomas de la teoría de conjuntos.
En los años siguientes la situación en Europa empeoró considerablemente. En 1938 Austria se anexó a Alemania y Gödel recibió la notificación de incorporarse al ejército. Kurt entonces tomó la decisión de emigrar. Sin embargo, la Segunda Guerra Mundial dificultó su salida y para hacerlo tuvo que atravesar la Unión Soviética, llegar a Japón y de ahí cruzar el Océano Pacífico a Estados Unidos, donde llegó en 1940.


Entre 1940 y 1955 Gödel trabajó intensamente, desplegando una gran actividad de investigación en lógica, filosofía de las matemáticas y en la Teoría General de la Relatividad, por la que había llegado a interesarse profundamente debido a las frecuentes conversaciones con Einstein.

En 1951 volvió a tener serias depresiones que lo llevaron al hospital. En este año también empezó a recoger frutos de sus trabajos. En éste y los siguientes años recibió diversos premios y grados honoríficos de Yale, Brown, Harvard, la Academia de Ciencias de Estados Unidos, la American Philosophical Society, la London Mathematical Society, y la Royal Society of London. En cambio, rechazó un título honorario que le ofreció la Universidad de Viena debido a la amargura que le causó la complicidad austriaca con el Tercer Reich.

A partir de 1955 siguió cosechando premios y distinciones, pero su creatividad fue disminuyendo debido fundamentalmente a frecuentes depresiones. En 1958 publicó artículos sobre la hipótesis del continuo y aportó nuevas interpretaciones de la teoría de números clásica. En su última publicación argumentó en favor de un método para demostrar la consistencia de las matemáticas bajo la hipótesis de que los objetos mentales tuvieran una existencia objetiva.


En los años subsecuentes, su salud siguió siendo precaria y Gödel empezó a sospechar que alguien quería envenenarlo. Siempre había sido una persona introvertida a quien le disgustaba la publicidad, por lo que en los siguientes años hizo tan solo dos o tres apariciones públicas

Su hermano Rudolf, médico, escribió:

Mi hermano tenía opiniones muy particulares y fijas de cualquier tema y era muy difícil convencerlo de lo contrario. Desgraciadamente durante toda su vida consideró que tenía la razón en todo, no solo en matemáticas, sino también en medicina. Fue un paciente muy difícil para sus médicos. Después de sufrir hemorragias severas de una úlcera duodenal mantuvo una dieta sumamente estricta (¿demasiado estricta?) que le causó una lenta pérdida de peso.

Durante los setenta, Gödel pasó más y más tiempo cuidando de su salud y cosechando honores. Fue aceptado como miembro de la Academia Británica y del Instituto de Francia, recibió un Doctorado Honoris Causa de la Rockefeller University y la Medalla Nacional a la Ciencia de Estados Unidos.


Hacia el final de su vida, Gödel se convenció de que lo que ya sospechaba era cierto y que alguien intentaba envenenarlo, por lo que dejó de comer para evitarlo. Kurt Gödel murió de inanición en un hospital, a la 1 p.m. el sábado 14 de enero de 1978.